CHROMATISCHE SCHAAL & INTERVALLEN

Als we kijken naar de chromatische schaal, de bekende 12-tonige toonladder die de basis vormt van alle Westerse muziek, zullen we zien dat deze te splitsen is in 6 patronen. En juist deze 6 patronen vormen de fundering van de muziektheorie. Tijd dus om dit eens nader te onderzoeken.
De chromatische schaal gezien vanuit de grondtoon C (=0) kan verdeeld worden in:
* Zes groepen overmatige-Kwart
(1 en #4/b5)
* Eén groep Kwart (4) en Kwint (5)
* Vier groepen grote-Terts (3)
en kleine-Sext (b6)
* Drie groepen kleine-Terts (b3)
en grote-Sext (6)
* Twee groepen grootte-Secunde (2)
en kleine-Septiem (b7)
* Eén groep kleine-Secunde (b2)
en grote-Septiem (7)
De namen (met de toevoegingen "grote-" en "kleine-") lopen we even door aan de hand van de toetsen op een piano. We starten weer bij de C.
Als we steeds een witte toets naar rechts opschuiven krijgen de volgende namen: De tweede toets heet dan de secunde, de derde heet terts, gevolgd door kwart, kwint, sext, septiem en octaaf voor vierde t/m achtste. De term "klein" duidt op een halve toon verlaging terwijl "groot" een halve toon verhoging aangeeft.
Een reeks tonen die steeds een halve noot uiteen liggen wordt een chromatische reeks genoemd (wit en zwart op piano) Een diatonische reeks omvat alleen de witte toetsen op de piano.
Waarom er 7 witte en slechts 5 zwarte toetsen in een octaaf zitten kun je lezen op een site waarvan je de link kan vinden op de pagina "Verdieping".
In onderstaande tabel is aangegeven hoeveel intervallen van halve tonen er liggen tussen de witte toetsen:
Vanwege de voorkeur van ons oor voor consonante verhoudingen is dit de reeks van acht noten waarmee wij akkoorden, melodieën en harmonieën opbouwen. Dus nu we weten welke intervallen mooi klinken (consonant) en welke niet (dissonant), dan kunnen we gemakkelijker en sneller melodielijnen creëren en akkoordenschema's opstellen.
Als we deze intervallen wiskundig gaan bekijken komen we bij de theorie over "Isomorfie, Ondergroepen, Nevenklassen en Voortbrengers". Daarom nu eerst meer wiskundige theorie hierover.
ONDERGROEPEN & ISOMORFIE

Zoals al gezien kunnen we de muzikale klok vergelijken met de diëdergroep D12.
Als elementen uit een groep samen opnieuw een groep vormen dan noemen we deze set een ondergroep.
Deze ondergroep moet voldoen aan de eisen van een groep wat betreft Associativiteit, Identiteit, Inverse en Geslotenheid onder vermenigvuldiging.
Als we bijvoorbeeld alleen de rotaties van de Diedergroep D12 bekijken (dus zonder de spiegelingen) dan wordt er nog steeds voldaan aan de bovenstaande eisen.
Voor het gemak bekijken we voor de rest van het verhaal alleen deze ondergroep. We noemen deze groep G en deze bevat de volgende elementen:
Opdracht 5:
Z12 bevat de volgende elementen: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Onze groep G is isomorf met Z12 .
a) Volgens welk isomorfisme geldt: f:Z12 -> G (oftwel welke functie f is een bijectie van Z12 naar G?)
b) Controleer dat geldt: f(a + b)=f(a) * f(b) voor alle a,b die element zijn van Z12.
VOORTBRENGERS & NEVENKLASSEN

Als G een groep is dan zeggen we dat een element van G een voortbrenger is van G als elk element van G geschreven kan worden als een veelvoudig product van dit element. Als dit zo is dan spreken we van een cyclische groep. Als we niet met een voortbrenger te maken hebben ontstaat een ondergroep van G.
Deze moet echter een aantal unieke nevenklassen hebben, zodat de ondergroep en zijn nevenklassen samen wel de gehele groep G genereren.
De notatie <r> betekent dat we steeds met r doorvermenigvuldigen, of in ons geval van de 12-hoekige plaat, steeds een slag van 30 graden doordraaien (de plaat blijft er dan altijd hetzelfde uitzien).
Op deze manier kunnen we de gehele groep G samenstellen. Dus:
<r>=
Vraag:
'Hoeveel van deze voortbrengers, die de gehele groep G genereren, heeft onze verzameling G dan en welke elementen zijn dit?'
Hiervoor gebruiken we de Euler phi functie van n, genaamd Φ(n). Het aantal voortbrengers Φ(n) is namelijk precies gelijk aan het aantal elementen i binnen de verzameling 0 < i < n met de eigenschap dat n en i geen gemeenschappelijke deler hebben. Voor n=12 zijn dit de getallen 1, 5, 7 en 11. Dus Φ(12)=4.
Opdracht 6:
* Laat zien dat een voortbrenger is van deze groep G. Bedenk hierbij dat
Het feit dat 7 er bij staat betekent in muzikale termen dat elke toon gegenereerd kan worden uit elke willekeurige (start)toon door meerdere keren een verhoging van 7 semitonen toe te passen (permutatie=7). Dit wordt in de muziek de 'kwintencirkel' genoemd, welke een vooraanstaande positie inneemt in de muziektheorie.
Door de 'muzikale klok' zo te rangschikken dat rechts naast elke toon zijn kwint komt te staan (links van elke noot staat dan zijn kwart) groeperen we daarmee bij elke toon de meest geschikte tonen om een melodie of akkoordenprogressie te maken. Hier komen we later op terug.
is dus schijnbaar geen voortbrenger van G, maar genereert wel een ondergroep van G. Als we dat nader bekijken zien we inderdaad dat we inderdaad slechts de helft van groep G hieruit kunnen genereren. We noemen deze ondergroep H.
H=
Als we echter deze ondergroep kunnen vermenigvuldigen met een element g1 dat wel in G zit maar niet in de ondergroep, dan moet er een nieuwe 'set' ontstaan met elementen die allemaal niet in H zitten maar wel in G.
Deze nieuwe set noemen we dan een nevenklasse van de ondergroep, bijvoorbeeld: g1H.
Als we nemen g1=r dan g1H=
H en g1H genereren samen groep G, waarbij H een ondergroep is van G en g1H een nevenklasse van H.
Opdracht 7:
a) Schrijf voor de groep Z12 de ondergroepen uit. Z12={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) Geef aan welke voortbrengers Z12 heeft (deze genereren de gehele groep Z12).
c) Geef bij de ondergroepen aan hoeveel nevenklassen ze hebben (inclusief de ondergroep).
Op basis van de resultaten bij opdracht 7 gaan we nu kijken naar de ondergroepen & nevenklassen in de muzikale klok. We zullen 2 patronen nader bekijken. Eerst een negatieve relatie tussen tonen die niet bij elkaar passen en dan een positieve relatie tussen tonen. Deze laatste gaan we vervolgens verder uitdiepen om de opbouw van akkoordenschema's beter te begrijpen en om met die kennis hier zelf mee aan de slag te kunnen.
GRONDTOON & OVERMATIGE-KWART

Laten we om te beginnen eens kijken naar het meest simpele verband, die tussen de grondtoon en de overmatige-Kwart. Deze twee tonen zijn extreem dissonant, oftewel ze passen totaal niet bij elkaar. Of anders gezegd het is een combinatie die wij niet graag horen.
In de 'klok' zijn ze ook letterlijk elkaars tegenpolen. Let ook op de rode versus de groene kleur die totaal niet bij elkaar passen.
Dit blijft natuurlijk als we gaan draaien met de 'klok'. Als we de interval van 6 stappen toepassen kunnen we 6 nevenklassen maken (inlcusief de gekozen ondergroep) maken. Dit moet overeenkomen met een resultaat wat je gevonden hebt bij opdracht 7.
Op deze manier weet elke muzikant dat een samengang van de noten die tegenover elkaar liggen vermeden moet worden. Dit is een voorbeeld van een negatieve relatie.
GRONDTOON & KWART / KWINT

Meteen als de grondtoon gekozen is muziekstuk neemt deze in het muziekstuk de centrale plaats in. Alle tonen die nu gekozen gaan worden staan in relatie met de grondtoon en deze grondtoon heeft een grote invloed op de rol die de andere tonen kunnen gaan spelen.
We hadden al gezien dat de tegenoverliggende toon de grootste vijand is. Maar de twee buren hiervan zijn juist de beste vrienden van de grondtoon. Voor de grondtoon C zijn dat F en G en bevatten daarom ook rood pigment in hun kleur. Ze klinken extreem consonant met C, oftewel ze klinken erg mooi samen.
Het chromatische toonsysteem heeft een heel lange geschiedenis.
Zo heeft Pythagoras van Samos (± 575 v C - ± 500 v C) zich al in de 6e eeuw voor Christus bezig gehouden met de indeling ervan. Hij zou een "monochord" hebben geconstrueerd: een eenvoudig kistje dat diende als klankkast met daaroverheen een gespannen snaar. Door een verschuifbare kam eronder te verplaatsen kon de snaar in verschillende lengtes worden verdeeld.
Zo ontdekte hij dat, als men de kam schuift tot op de helft van de snaarlengte, men een toon hoort die een octaaf hoger klinkt dan de oorspronkelijke toon. De toonhoogte van de grondtoon verhoudt zich tot het octaaf als 1 : 2. Vandaag de dag zeggen we dat het aantal trillingen waaruit een octaaftoon bestaat tweemaal dat van de grondtoon is. Heeft de grondtoon een trillingsgetal van 400 hertz, dan heeft het octaaf een trillingsgetal van 800Hz.
Bovendien ontdekte Pythagoras dat de verhouding tussen de grondtoon en de vijfde toon van een toonladder
2 : 3 is. Die vijfde toon is na de grondtoon en het octaaf de belangrijkste toon in de toonreeks. Zo belangrijk, dat wij die ook wel de dominant noemen. De vijfde toon is de kwint in de toonladder. Heeft de grondtoon 400Hz dan heeft de kwint 600 Hz.
Met datzelfde "monochord" toonde hij aan dat de verhouding grondtoon : kwart (4e toon)=3 : 4.
'Maar waarom klinkt juist die kwint zo mooi met de grondtoon?'
Om lekker te klinken in een toonsoort moeten twee tonen op de eerste plaats in de toonladder voorkomen van de grondtoon. Een tweede voorwaarde voor makkelijk in het gehoor liggende tonen is dat deze tonen niet naast elkaar mogen liggen.
Door op de grondtoon van de toonladder een drieklank te bouwen, waarbij we steeds één trede overslaan vinden we een drieklank die bestaat uit de grondtoon, de terts en de kwint. Oftwel het majeur-akkoord.
De kwint is van deze beiden echter degene die als voortbrenger gezien kan worden voor de gehele toonladder. We hadden namelijk gezien dat de voortbrengers van Z12 zijn 1, 5, 7 en 11.
De 1 en de 11 vallen muziektechnisch gezien af omdat deze direct naast de grondtoon liggen en dat vinden wij niet prettig klinken (voorwaarde 1). Dan blijven 5 en 7 over. We hebben al gezien dat deze gelijk aan elkaar zijn. In de 'muzikale klok' is duidelijk te zien dat ze elkaars inverse zijn.
Omdat de lijnen vanuit C naar F en G in de chromatische schaal symmetrisch lopen t.o.v. de 0-6 as ontstaat een prachtige wiskundige figuur als we deze relatie bekijken vanuit elke mogelijke grondtoon door de cirkel steeds 1/12de deel te draaien. Er ontstaat op deze manier 1 groep binnen de toonladder, omdat we via de lijnen die de onderlinge relaties weergeven helemaal rond kunnen 'zonder de pen van het papier te halen'.
Wat ook opvalt is dat de kleur van de grondtoon, van waaruit dan twee lijnen vertrekken, terug te zien is in de kleuren van de tonen waar beide lijnen eindigen. De kwart en de kwint vormen daarom een sterke positieve relatie met de grondtoon.
Opdracht 8:
Bij stappen van 7 in bovenstaande figuur horen de kwinten (bijvoorbeeld van C naar G). Bij stappen van 5 horen de kwarten. De voor de muziek zo belangrijke 'kwintencirkel', die we nu gaan bekijken, zou dus ook een 'kwartencirkel' genoemd kunnen worden. Leg uit waarom.
