ROTATIE EN SPIEGELING

De diëdergroep D12 is de groep van symmetrieën van een regelmatige 12-hoek. Deze groep wordt gevormd door twee elementen r en s, met als mogelijke relaties:
Element r kan gezien worden als een rotatie om de as die loodrecht staat op het zwaartepunt van de 12-hoek. We kunnen 11 verschillende rotaties uitvoeren (steeds met een interval van 30 graden oftewel π/6) waarna de plaat er hetzelfde uitziet als voorheen. In feite zijn de hoekpunten verschoven maar dat zie je niet. Als de plaat weer echt in zijn oorspronkelijke positie ligt noemen we dat de Identiteit. Samen met de netgenoemde 11 rotaties zijn dit al 12 symmetrieën.
Verder kunnen we de plaat in elke van deze 12 mogelijke posities, verkregen door een rotatie, nog spiegelen in bijvoorbeeld een diagonaal van de plaat. Hierdoor ontstaan nog eens 12 symmetrieën.
In totaal heeft de groep D12 dus 24 symmetrieën.
In onderstaande afbeelding zijn de rotatie-as r en de spiegelas s te zien bij een driehoekige plaat.
Kenmerk van een Diëdergroep is is dat deze symmetrieën niet commutatief zijn.
Vanuit deze groep D12 gaan we de muzikale technieken transpositie en inversie nader bekijken. Maar eerst iets over modulo12 rekenen en octaven.
MODULO12 vs OCTAVEN

Rekenen met modulo12 betekent dat we optellen tot 12 en daarboven weer bij 1 beginnen. Dus 8 + 6 betekent dat we vanaf 8 lopen naar 9, 10, 11, 12, 1, 2. Dus (8+6)modulo12 = 2.
Voor het verdere verhaal schrijven we het getal 0 i.p.v. 12 wat betekent dat we na 11 terug gaan naar 0 (en niet van 12 naar 1).
Dit leidt tot de volgende somtabel:
In termen van de groepentheorie kan de bovenstaande set {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} een groep genoemd worden. Elke optelling leidt tot een getal uit de set door het modulo12 rekenen. De identiteit is het getal 0 en de inverse van een element i is (12 - i).
Deze groep wordt geschreven als Z12.
In termen uit de muziek kunnen we de getallen 0 t/m 11 koppelen aan de muzikale intervallen in veelvouden van halve tonen in de 12-tonige gelijk verdeelde octaaf. Hierbij is een octaaf opgebouwd uit 12 stapjes. Denk bijvoorbeeld aan de 12 fretten van een gitaar of de twaalf toetsen (7 witte en 5 zwarte) bij een piano.
Dus als voorbeeld kunnen we de permutatie, die elke noot met één halve toon verhoogt, als volgt opschrijven:
Hiermee ontstaat de octaaf-equivalentie waarbij twee tonen tot dezelfde pitch-klasse behoren als ze een veelvoud van een octaaf verschillen. De C3 heeft dezelfde toon als de C4, alleen een octaaf lager.
Elk element van Z12 kan dan worden voorgesteld als een bepaalde permutatie van de twaalf pitch-klassen met de indicator i als de stijging van i halve tonen. Als startpunt kiezen we normaal gesproken de noot C, waarbij deze dus gelijk is aan 0 in de rij.
We kunnen dan een muzikale klok tekenen waarbij de C op 12 uur staat. We schrijven hier voor het rekengemak 0, omdat 12mod12 = 0.
Mod12 optellen en aftrekken kan nu gemakkelijk van deze klok worden afgelezen. Bijvoorbeeld: (2+3)mod12 = 5, (11+4)mod12 = 3 en (1-4)mod12 = 9.
Andersom kunnen we ook de interval bepalen tussen twee tonen. Bijvoorbeeld is het interval van D naar G# zes halve tonen.
De vertaling van pitch-klassen naar modulo12 zorgt er voor dat we gemakkelijk abstracte algebra kunnen gebruiken om muzikale eenheden vorm te geven, zoals we nu zullen gaan zien.
TRANSPOSITIE & INVERSE

Een transpositie verhoogt of verlaagt alle tonen uit een reeks met hetzelfde interval. De melodie blijft hetzelfde alleen de toonhoogte veranderd. Zo kunnen bijvoorbeeld zangers en zangeressen een melodie die buiten hun stembereik ligt in de toonhoogte zetten die hun beter ligt.
Dit is het goed te demonstreren op een gitaar. Kijk nu het volgende filmpje.
Korte uitleg van een gitaar:
Een gitaar heeft 6 snaren en in open positie zijn deze gestemd in de volgende tonen:
Van laag naar hoog: E - A - D - G - B - E
De metalen balkjes op de gitaar noemen we frets een daarmee delen we de hals op in een aantal stukken die te vergelijken zijn met de toetsen op een piano.
We nemen als beginakkoord een F in barré. Barré betekent dat de wijsvinger zo wordt geplaatst dat hij verticaal over alle snaren ligt. Daarmee simuleer je het uiteinde van de hals en kan je door te schuiven in feite de hals gewoonweg 'korter' maken. Door steeds een fret op te schuiven verhoog je het akkoord met een halve toon. Dit kan je 12x doen waarna je weer terecht komt op een F-akkoord maar dan een octaaf hoger. Dit wordt in de muziek 'transponeren' genoemd.
Een transpositie betekent in de muziek een verhoging of verlaging van alle tonen uit een reeks. De transpositie van een reeks tonen (x) met n halve tonen levert de reeks Tn(x) op.
Voorbeeld:
x={3 0 8} (D# - C - G#) levert T4(x)={7 4 0} (G - E - C)
(want (3+4)mod12=7, (0+4)mod12=4, (8+4)mod12=0)
In formulevorm: Tn(x)=(x + n)mod12
Een inversie I(x) houdt in dat de reeks vervangen wordt door alle inverse-waarden van de elementen.
In ons voorbeeld:
x={3 0 8} (D# - C - G#) levert I0(x)={9 0 4} (A - C - E)
(want (3+9)mod12=0, (0+0)mod12=0, (8+4)mod12=0)
In formulevorm: In(x)=(- x + n)mod12
Als we beiden bekijken in de muzikale klok zien we dat de transpositie T1(x) overeenkomt met een rotatie van de klok met 1/12de deel, terwijl de inversie I0 de 'klok' in de verticale 0-6 as spiegelt.
Omdat (T1(x))n = Tn(x) en Tn º I0 = In zien we dat dit volledig overeenkomt met de 12 rotaties en de 12 inversies van de diëdergroep D12.
Deze groep wordt ook wel de T/I-groep genoemd.
AKKOORDEN: MAJEUR & MINEUR

De drieklankige harmonie (van nu voor het gemak 'akkoorden' genaamd) bestaat al sinds eeuwen en is ook nu nog steeds populair in de hedendaagse muziek.
We gaan nu kijken hoe de twee meest gebruikte groepen van akkoorden, de majeur- en de mineur-akkoorden, gedefinieerd kunnen worden vanuit het modulo12 rekenen. Als we dat gedaan hebben kunnen we ze als objecten zien waarop de groep D12 van toepassing is.
Een akkoord bestaat dus simpelweg uit drie tegelijkertijd gespeelde tonen. Een majeur-akkoord bestaat uit een grondtoon, een tweede toon die 4 halve tonen boven de grondnoot ligt, en een derde die 7 halve tonen boven de grondtoon ligt. Het Cmaj-akkoord bijvoorbeeld bestaat dus uit {0, 4, 7} oftewel {C, E, G}.
In de 'open positie' ziet het Cmaj-akkoord er zo uit:
De snaren waar geen 'bolletje' staat (de bolletjes stellen vingers voor) blijven open, dus behouden hun toon. Dit zijn hier de E(laag)-, de G- en de E(hoog)-snaar.
De A-snaar gaat 3 halve tonen omhoog (vinger op de 3de fret), dus naar een C. De D-snaar 2 halve tonen naar een E. En tenslotte de B-snaar 1 halve toon naar een C.
Zo krijgen we een drieklank met de tonen {C, E, G} oftwel het Cmaj-akkoord.
Omdat elk majeur-akkoord een subgroep is van Z12 en dus de transposities en inversies op Z12 van toepassing zijn, geldt dit ook voor elk majeur-akkoord.
Hieronder zien we bijvoorbeeld wat er gebeurd als we de inversie toepassen op het Cmaj-akkoord. Het resultaat is echter geen nieuw majeur-akkoord. We krijgen de set {5, 8, 0} oftewel {F, G#, C}. Dit akkoord bestaat uit een grondtoon, een tweede toon die 3 halve tonen boven de grondtoon ligt, en een derde die 7 halve tonen boven de grondtoon ligt. Dit noemen we een mineur-akkoord.
In onderstaande tabel is te zien dat uit elk majeur-akkoord op deze manier een mineur-akkoord te maken is en omgekeerd. We noemen de totale set van majeur- en mineur-akkoorden de set S van consonante akkoorden omdat ze een heel prettig geluid samen vormen. De grondtoon bepaalt de naam van het akkoord. Het mineur-akkoord van hierboven {5, 8, 0}={F, G#, C} is een Fmin.
In de tabel worden de majeur-akkoorden aangeduid met een hoofdletter en de mineur-akkoorden met een kleine letter.
In deze tabel zien we een aantal belangrijke dingen.
De toepassing van T1(x) op een akkoord levert het akkoord wat er onder staat.
Bijvoorbeeld:
T1{0, 4, 7}={T1(0), T1(4), T1(7)}={1, 5, 8}
Algemeen: Als we het C-akkoord bovenaan de tabel weer gelijkstellen aan element 0, dan geldt voor het n akkoord in de eerste kolom van de tabel:
Tn{0, 4, 7}={Tn(0), Tn(4), Tn(7)}
En voor de tweede kolom:
In{0, 4, 7}={In(0), In(4), In(7)}
Opdracht 1:
* Laat middels de bewerking 'I4(x)' zien hoe het Amin-akkoord "ontstaat" uit het Cmaj-akkoord.
Opdracht 2:
* Het inverse-akkoord van Bmaj is Emin.
De Bmaj "ontstaat" vanuit het Cmaj-akkoord middels een T11(x) en de Emin middels een I11(x).
Laat zien dat dit overeenkomt met spiegeling in een andere as dan de 0-6 as van de muzikale klok.
Opdracht 3:
* Kijk onderstaand filmpje en maak de bijbehorende opdracht:
Bepaal op basis van je kennis van majeur- en mineur-akkoorden de vingerzetting van een Gmaj- en een Emin-akkoord op een gitaar (in 'open positie').
Hint: Om de akkoorden te pakken heb je maximaal 3 vingers nodig. De overige snaren blijven open!
Opdracht 4:
* Niet alle akkoorden zijn in de 'open positie' te pakken. Een voorbeeld hiervan is het F#min-akkoord.
Laat met het gevonden Emin-akkoord (in 'open positie') uit de vorige opdracht zien met welke transpositie je het F#min-akkoord kan maken in barré. Schets ook dit akkoord en controleer of het akkoord wat je samenstelt (alleen) bestaat uit de 3 tonen die horen bij een F#min-akkoord (zie ook de tabel).
de
